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Erste Schularbeit Mathematik Klasse 8A G am 23.11.2016SCHÜLERNAME:Punkte im ersten Teil:Punkte im zweiten Teil:Davon Kompensationspunkte:Note:Notenschlüssel:Falls die Summe der erzielten Kompensationspunkte im zweiten Teil und des ersten Teils wenigerals 16 ist, so ist die Note Nicht Genügend. Falls diese Summe 16 oder mehr beträgt, dann wirdfolgender Notenschlüssel benutzt:NOTENSCHLÜSSEL41 - 48 PunkteSehr Gut (1)33 - 40 PunkteGut (2)25 - 32 PunkteBefriedigend (3)16 - 24 PunkteGenügend (4)

Aufgabe 1. (2P) Funktionsklassen ihren Eigenschaften zuordnen.In der linken Tabelle sind vier Eigenschaften von Funktionen gegeben. In der rechten Tabelle sehenSie Fynktionstypen, bei denen die Parameter a, b, und c beliebige, reelle Zahlen annehmen können.Ordnen Sie jeder Eigenschaft einen Funktionstypen in der linken Tabelle zu!Linke TabelleEs gibt eine positive Zahl p mitf (x p) f (x) für alle x R.Rechte TabelleAf (x) ax2 bx c.Die Differenz f (x 1) f (x) istvon x unabhängig.Bf (x) xa .Cf (x) ax b.f 0 (x)f (x)Df (x) a · eλx .Ef (x) a · xb .Ff (x) a · sin(bx).Der Quotientabhängig.ist von x un-Das Produkt x · f (x) hängt nichtvon x ab.Aufgabe 2. (2P) Interpretationssache.Es sei P (t) die Leistung eines Geräts, das um 8:00 eingeschalten wird, wobei t die Zeit in Sekundenab 8:00 bedeutet. ZDie Leistung P wird in Watt (Joule pro Sekunde) ausgedrückt. Interpretieren3600Sie den AusdruckP (t)dt.0Antwort:Aufgabe 3. (2P) Bedeutung der Ableitung.Ein Flugzeug steigt nach dem Starten auf. Die Höhe des Flugzeuges (in Metern) wird während derersten 900 Sekunden des Fluges durch die Funktion h : [0; 900] R dargestellt. Interpretieren Sieden Ausdruck h0 (300) in diesem Kontext.

Aufgabe 4. (2P) Parabelfläche.Gegeben ist die Parabel y 9 x2 . Bestimmen Sie die Fläche A, die von der Parabel und derx-Achse eingeschlossen wird.A Aufgabe 5. (2P) Gewinn und Kosten.Im Diagramm sehen Sie die Graphen der Kostenunktion K und der Erlösfunktion E (beide in GE)in Abhängigkeit der Produktionsmenge x (ME). Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion Gein und geben Sie an, in welchem Produktionsbereich Gewinn gemacht wird.Aufgabe 6. (2P) Autofahrt.Ein Auto fährt mehrere Stunden mit konstanter Geschwindigkeit und legt dabei in drei Stunden180 Kilometer zurück. Geben Sie eine Funktionsvorschrift für den zurückgelegten Weg s(t) (inKilometer) seit dem Startpunkt, wobei die Zeit ab dem Start t in Stunden angegeben wird.s(t)

Aufgabe 7. (2P) Stammfunktionen.Gegeben sind die Funktionen a(x) 3x2 und b(x) von a und b! (Achtung: C nicht vergessen!)2.x2Ermitteln Sie die unbestimmten IntegraleZZ,a(x)dx b(x)dx .Aufgabe 8. (2P) Parallele Geraden.2Gegeben ist die Parabel y x 5 x . Bestimmen Sie in welchem Punkt die Tangente an der Parabelparallel zur Sekante durch die Punkte (0 0) und (5 4) ist.x Aufgabe 9. (2P) Ermitteln eines Integrals.In der Abbildung sehen Sie den Graphen einer Funktion h. Im Intervall [ 4; 2] ist sie eine lineareFunktion mit h( 4) 0 und h(2) 4, im Intervall [2; 6] ist sie quadratisch mit Funktionsvorschrift2.h(x) 36 x8Z 6Bestimmen Sie das Integralh(x)dx. 4Z6h(x)dx 4Aufgabe 10. (2P) Parameter einer Exponentialfunktion bestimmen.Gegeben ist die Funktion f (x) aeλx , wobei a R . Bestimmen Sie a 0 und λ R so, dassf (3) 12 und f (1) 3.a λ .

Aufgabe 11. (2P) Graphen, Funktionen und Stammfunktionen.Gegeben sind vier Graphen von Funktionen f1 , f2 , f3 und f4 . Ordnen Sie jedem Diagramm eineStammfunktion aus der Tabelle zu!Tabelle mit StammfunktionenF (x) x36 5.BF (x) x4 CF (x) ex 1.DF (x) e x 1.EF (x) x22 x 1.F (x) x2 1.AF242x36 x 1.

Aufgabe 12. (2P) Flächeninhalt und Integral.In der folgenden Abbildung ist der Graph der Funktion f dargestellt. Die Funktion f hat mindestens zwei Nullstellen; sichtbar sind die Nullstellen x1 1, 37 und x2 3, 57. In der Abbildungsind auch die Flächen A1 und A2 dargestellt. Kreuzen Sie die richtige(n) Aussage(n) in diesemKontext an!Zx2f (x)dx A1 A2 x1Zx2f (x)dx A2 A1 0Zx2f (x)dx A2 A1 x1Zx2f (x)dx A1 A2 0Zx2f (x)dx A2 x1

Erste Schularbeit Mathematik Klasse 8A G am 23.11.2016TEIL 2SCHÜLERNAME:Aufgabe 1. Finanzmathematik.In Firma Epsilon werden Getränke produziert. Die Produktionsmenge (in Mengeneinheiten ME)wird mit x bezeichnet. Es sei K(x) die Kostenfunktion, wobei die Kosten in Millionen Euroangegeben werden. In guter Annäherung kann K durch folgendes Polynom beschrieben werden:K(x) 381· x3 · x2 · x 3000100010025(a). (1 Kompensationspunkt) Geben Sie einen Termausdruck für die Grenzkostenfunktion.(b). (3 Punkte) Geben Sie an, in welchem Interval der Verlauf der Kostenfunktion progressivbzw. degressiv ist, und bestimmen Sie die Kostenkehre.(c). (3 Punkte) Die Erlösfunktion beschreibt den Ertrag E(x) in Abhängigkeit von der produzierten Menge x. Für die Firma Epsilon wird E(x) durch E(x) 420x gegeben. Die GewinnfunktionG(x) E(x) K(x) beschreibt den Gewinn der Firma. Bestimmen Sie den Cournot’schen PunktxC und den maximalen Gewinn.Aufgabe 2. Wasser aus der Badewanne.Aus einer Badewanne strömt das Wasser mit Durchflussrate I(t) (in Liter pro Sekunde), gegebendurch folgende FormelI(t) 0, 45 0, 0005 · t .In dieser Formel ist die Zeit t in Sekunden angegeben und zum Zeitpunkt t 0 wurde der Stöpselaus der Wanne gezogen.R 10Z 10I(t)dt(a). (1 Kompensationspunkt) Interpretieren Sie die AusdrückeI(t)dt und 0.100(b). (4 Punkte) Berechnen Sie, zu welcher Zeit t gilt, dass I(t) 0. Deuten Sie diese Zeit imKontext und berechnen Sie dann, wie viel Wasser zu t 0 noch in der Badewanne war.7

Aufgabe 3. Drehkörper.Es sei f (x) 15 2 · ex gegeben.(a). (1 Kompensationspunkt) Bestimmen Sie a 0 so, dass f (a) 0.(b) (4 Punkte) Die Fläche, die von dem Graphen von f , der y-Achse, der x-Achse und derGeraden x a eingeschlossen wird, wird um die x-Achse gedreht. Berechnen Sie das Volumendes so entstandenen Rotationskörpers. (Falls Sie (a) nicht haben, nehmen Sie a 2.)Aufgabe 4. Integralfunktionen. 0Gegeben ist eine positive und stetige FunktionR xf : [0, ) R .Betrachten Sie die folgende Funktion g(x) 0 f (t)dt, definiert auf dem Intervall Dg [0, ).(a). (1 Kompensationspunkt) Kreuzen Sie die richtige(n) Aussage(n) an! g ist eine stetige Funktion ohne Nullstellen. g 0 (x) f (x). g ist monoton fallend. f 0 (x) g(x). g hat genau eine Nullstelle.Rx(b). (4 RPunkte) Betrachten wir des Weiteren noch folgende Funktionen: h(x) 1 f (t)dt undxj(x) 2 f (t)dt für x 2. Begründen Sie, dass j(x) h(x) g(x) für alle x 2, geben Sieeinen Ausdruck für j(x) g(x) und zeigen Sie, dass g, j und h Stammfunktionen von f sind.Aufgabe 5. Stetigkeit. (2 Punkte)Erklären Sie den Begriff Stetigkeit“ und geben Sie eine Funktion an, die nicht stetig ist.”8

Erste Schularbeit Mathematik Klasse 8A G am 23.11.2016 TEIL 2 SCHULERNAME : Aufgabe 1. Finanzmathematik. In Firma Epsilon werden Getr anke produziert. Die Produktionsmenge (in Mengeneinheiten ME) wird mit xbezeichnet. Es sei K(x) die Kostenfunkt