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Formelsammlung Mathematik – Zentrale Prüfungen 10Anforderungsniveau MSAEbene FigurenQuadratRechteckFlächeninhalt:A a a aUmfang:u 4 aFlächeninhalt:A a bUmfang:u 2 a 2 b2DreieckFlächeninhalt:g hA 2ParallelogrammFlächeninhalt:A g hUmfang:u a b cUmfang:u 2 a 2 bTrapezKreisFlächeninhalt:a cA h2Radius:Durchmesser:rd 2 rUmfang:u a b c dFlächeninhalt:Umfang:A r2u 2 :A A1 A r2 360 A2 r r2221Kreisbogen:b 2 r 360 Beziehungen im rechtwinkligen DreieckIn einem rechtwinkligen Dreieck gilt:Satz des Pythagorasa b c22Trigonometrie2a Gegenkathete von cHypotenuseb Ankathete von cos cHypotenusea Gegenkathete von tan bAnkathete von sin Die beiden Katheten a und b bilden einen rechtenWinkel.Die Hypotenuse c ist die längste Seite des Dreiecks undliegt dem rechten Winkel gegenüber.MaßeinheitenLängeKilometer1 km2018-03MeterDezimeter 1000 m1 m 10 dm1 1 m² 10 cm1 cm 10 mmFormelsammlung – Anforderungsniveau MSAQuadrat‐dezimeter 100 dm²1 dm²Quadrat‐zentimeter 100 cm²1 cm²Quadrat‐millimeter 100 mm²Seite 1 von 6

Formelsammlung Mathematik – ZP10 – Anforderungsniveau MSA(2/6)Geometrische KörperWürfelQuaderVolumen:V a a a aVolumen:V a b c3Oberfläche:O 2 a b 2 b c 2 c aOberfläche:O 6 a a 6 a2Beispiel: DreiecksprismaPrismaGrundfläche:Höhe des Körpers:Umfang derGrundfläche:ZylinderGrundfläche (Kreis): G r 2GhKHöhe des Körpers:uUmfang derGrundfläche:u 2 rhKVolumen:V G hKVolumen:V G hKMantelfläche:M u hKMantelfläche:M u hKO 2 G MOberfläche:Oberfläche:Beispiel:Quadratische PyramidePyramideGrundfläche:Höhe des Körpers:1V G hK3Oberfläche:Höhe des Körpers:hKLänge der Mantellinie:sVolumen:1V G hK3Mantelfläche: M r sMMantelfläche:KegelGrundfläche (Kreis): G r 2GhKHöhe der Seitenfläche: sVolumen:O 2 G MO G MOberfläche:O G MKugelVolumen:Oberfläche:4 r33O 4 r2V MaßeinheitenVolumenKubikmeter1 m³Liter (ℓ)MasseKubik‐dezimeter 1 000 dm³1 dm³1 dm³ 1 ℓKubik‐zentimeterKubik‐millimeterTonne1t 1 000 cm³1 cm³ 1 000 mm³ 1 000 mℓ1 cm³ 1 mℓKilogrammGramm 1 000 kg1 kg Milligramm1 000 g1 g 1 000 mg

Formelsammlung Mathematik – ZP10 – Anforderungsniveau MSA(3/6)Zentrische Streckung und ÄhnlichkeitsbeziehungenBeispiel: zentrische Streckung eines DreiecksBei einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Zund dem Streckfaktor k k 0 wird jeder Punkt Pk 0auf einen Bildpunkt P ' abgebildet. Es gilt:k Z , P und P ' liegen auf einer Geraden. ZP ' k ZPZA ' ZB ' .ZA ZBaußerdem gilt:k k 0 : P ' und P liegen auf derselbenSeite von Z k 0 : P ' und P liegen auf gegenüberliegendenSeiten von ZA' B ' A'C ' .ABACOriginal‐ und Bildfigur sind zueinander ähnlich, d.h. dieBildstrecken sind parallel zu den Originalstrecken und dieWinkelgrößen bleiben erhalten.Prozent‐ und ZinsrechnungProzentrechnungGrundwert:G G 100 %Wp%Prozentsatz:WGProzentwert:Prozentsätze zur OrientierungAnteil100 %: 100pp% 100Größe1% p%p% G: 100G100 W G p% 5% 10 % 25 % 33, 3 % 50 % WW0%1%% 100 %1100120110141312 0, 01 0, 05 0,1 0, 25 0, 3 0, 5ZinsrechnungKapital:K 100 %Zinssatz:p%Zinsen:Z0%100 %%Tageszinsent : Anzahl der TageMonatszinsenm: Anzahl der MonateJahreszinsenZ K p%Zm K p % m12Zt K p % t360ZinseszinsAnfangskapital:K0Zinsfaktor:q 1 Anzahl der Jahre:np100Kapital mit Zinseszins Jahr für JahrK1 K0 q1. Jahr:2. Jahr:K 2 K1 q Kapital mit Zinseszins nach n JahrenKn K0 qnDiagrammeWerte darstellenAnteile grammKreisdiagramm30 %50 %20 %30 %20 %50 %100 % ˆ 360 10 % ˆ 36 1 % ˆ 3,6

Formelsammlung Mathematik – ZP10 – Anforderungsniveau MSA(4/6)DatenHäufigkeitenabsolute HäufigkeitDie absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmterWert (Merkmal/Ergebnis/Ereignis) bei einerBefragung/einem Experiment auftritt.relative HäufigkeitDie relative Häufigkeit gibt das Verhältnis von derabsoluten Häufigkeit eines Wertes zu der Anzahl allerWerte an.relative Häufigkeit absolute HäufigkeitAnzahl aller WerteDaten sammeln und ordnenUrlisteIn einer Urliste liegen alle Werte einer Befragung in derReihenfolge vor, wie sie beobachtet wurden.RanglisteIn einer Rangliste liegen alle Werte einer Befragung ingeordneter Reihenfolge vor, vom kleinsten zum größtenWert sortiert.Mittelwertearithmetisches Mittel xDas arithmetische Mittel (Durchschnittswert) ist dieSumme aller Werte geteilt durch die Anzahl n derWerte.Median x Der Wert, der in der Mitte einer Rangliste steht,heißt Median (Zentralwert).Median bei ungerader Anzahl :38 ; 39 ; 39 ; 40; 43x Medianx1 x2 . xnnx 39Median bei gerader Anzahl :38 ; 39 ; 40 ; 45 Medianx 39 oder x 40bzw.:(39 40) : 2 39,5Statistische Kennwerte im Boxplot s Quartil:oberes Quartil:xMinxMaxxMax xMinx qu (Median der unteren Hälfte der Werte)qo (Median der oberen Hälfte der einlichkeitLaplace‐Versuche sind Zufallsversuche, bei denenjedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist.Für die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses E gilt dann:P E Anzahl der günstigen ErgebnisseAnzahl der möglichen ErgebnisseMehrstufige ZufallsversucheMehrstufige Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mitHilfe der Pfadregeln berechnen.1. Pfadregel (Produktregel)Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses E ist gleich dem Produkt derWahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.P( E) p1 p22. Pfadregel (Summenregel)Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses E ist gleichder Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.P( E ) P( E1 ) P( E 2 ) p1 p2 q1 q2

Formelsammlung Mathematik – ZP10 – Anforderungsniveau MSA(5/6)FunktionenEine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Dabei wird jeder Ausgangsgröße genau eine Größe zugeordnet.Eine Funktion kann auf unterschiedliche Weise angegeben werden:WortformBeispiel:„Jeder Zahl wird ihreQuadratzahl zugeordnet.“Zuordnungsvorschriftx xWertetabelleGraph2Funktionsgleichungy x 2 oder f ( x ) x 2x -2-1012y 41014Schnittpunkte und Berührungspunkte mit den Koordinatenachsen:Wenn f ( x0 ) 0 , dann ist x0 eine Nullstelle von f . Der Graph von f schneidet oder berührt die x ‐Achse imPunkt x0 0 .Wenn der Graph einer Funktion f die y ‐Achse schneidet, dann ist an der Stelle x 0 der Schnittpunkt mit denKoordinaten 0 y0 .Lineare Funktionenm 0die Gerade g steigtallgemeine Geradengleichungg: y m x nm 0die Gerade g fälltSteigung der Geradeny y1m 2; x2 x1x2 x1y ‐Achsen‐Abschnitt: nEigenschaften von quadratischen FunktionenNormalparabelgestreckte / gestauchte Parabel:y x2y a x2Streckfaktor: a , a 0Scheitelpunkt: S 0 0 allgemeine Formy a x2 b x c , (a 0)Schnittpunkt mit der y ‐Achse: 0 c Scheitelpunktformy a x d e , (a 0)2Scheitelpunkt: S d e Die Parabel istgestreckt, wenna 1Die Parabel istgestaucht, wenn0 a 1Die Parabel ist nachunten geöffnet, wenna 0

Formelsammlung Mathematik – ZP10 – Anforderungsniveau MSA(6/6)Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstumexponentielles Wachstumallgemeine Formy q y a q(q )xx y Schnittpunkt mit der y ‐Achse: 0 1 Kein Schnittpunkt mit der x ‐Achse( a \ 0 , q )Anfangswert tebereich:1 xyq1 2a·qa 2 a·q prozentuale Abnahme um p % :prozentuale Zunahme um p % :q 1, q 1 0xa1p0 q 1 , q 1 100p100Sinusfunktiony sin Wertebereich:Periode: 1 y 1360 , alsosin sin 360 Binomische Formeln a b 2 a b a 2 2 a b b22 a b a b a 2 b2 a2 2 a b b2Quadratische GleichungenNormalform:22Lösung:x p x q 0 , p, q 2x1/ 2 p p p q , wenn q 022 2 2 p Es gibt keine Lösung, wenn q 0 . 2 Potenz‐ und Wurzelgesetze m, n , wenn a, b Potenzgesetzea n b n ( a b) na n : b n ( a : b) na m a n a m na m : a n a m na n b n a b a m n aa0 11a n nam n1Wurzelgesetzenoder m , n , wenn a , b \ 0 a , b 0 und m, n na na nbb(b 0)nnma ana m n a m n a namm n am a n

Gegenkathete von Hypotenuse Ankathete von Hypotenuse Gegenkathete von Ankathete von Maßeinheiten Länge Fläche Kilometer Meter Dezimeter Zenti‐ meter Milli‐ meter Quadrat‐ meter Quadrat‐ dezimeter Quadrat‐ zentimeter Quadrat‐ millimeter 1 km 1000 m 1 m² 100 dm²