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Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches Grundpraktikum317 – Elektrischer Schwingkreis1. Aufgaben1.1Untersuchen Sie das Verhalten eines elektrischen Schwingkreises! Nehmen Sie die Resonanzkurve auf und berechnen Sie Bandbreite, Güte und Reihenverlustwiderstand! Betrachten Sie auch die Phasenlage zwischen Eingangs- und Schwingkreis-Signal!1.2Untersuchen Sie das Verhalten zweier gekoppelter Schwingkreise. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenzen des gekoppelten Systems! Messen Sie Schwingungs- und Schwebungsperiode, und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Theorie!1.3(Zusatzaufgabe) Messen Sie das logarithmische Dekrement für unterschiedlich stark gedämpfte Schwingkreise! Untersuchen Sie den Einfluss des Dämpfungswiderstandes aufDämpfungskonstante und Schwingungsfrequenz!2. ung, Amplituden- und Phasengang, Dämpfung, Bandbreite, Güte,Schwingkreiskopplung, Resonanzfrequenzaufspaltung2.1Der SchwingkreisSchwingungsfähige Systeme begegnen uns an vielen Stellen, z.B. als Fadenpendel, Federschwinger, schwingende Saiten, als elektromagnetische Schwingungen, die Abstrahlung vonRadiowellen oder Licht zur Folge haben, als Gitterschwingungen in Festkörpern usw. AllenFällen ist gemeinsam, dass Energiezufuhr die Auslenkung aus einem Gleichgewichtszustandbewirkt und nachfolgend ein Wechselspiel zwischen einer Trägheits- und einer Rückstellkraftund damit eine periodische Energieumwandlung von z.B. potentieller in kinetische (und umgekehrt) beginnt. Durch Dämpfung klingt die Schwingung (bei nur einmaliger Energiezufuhr)nach mehr oder weniger langer Zeit wieder ab.In unserem Versuch ist das schwingungsfähige System ein Parallelschwingkreis bestehend auseiner Spule (Induktivität L) und einem Kondensator (Kapazität C, Bild 1).Bild 1: Parallelschwingkreis.317-Elekrischer SchwingkreisSeite 1 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumZwischen Spule und Kondensator findet ein ständiger Austausch magnetischer bzw. elektrischer Feldenergie statt, der eine elektrische Schwingung mit im Idealfall konstanter Amplitudezur Folge hat. In der Praxis ist die Schwingung aufgrund unvermeidlicher Energieverluste gedämpft (ohmscher Widerstand der Spule, dielektrische Verluste des Kondensators, Streuverluste des Kreises). Die Verluste können durch einen ohmschen Widerstand RV (Reihenverlustwiderstand) repräsentiert werden. Folgende Schwingungsgleichung lässt sich aufstellen (Gl. 16im Anhang)UC R1UC UC 0LLC(1).Deren Lösung erfolgt über einen Exponentialansatz, der zu einer quadratischen Gleichung derForm: 2 2 2o 0 1,2 – führt. Mit folgender Lösung 2 – 02ergeben sich drei Fälle:Die Lösung für den Schwingfall hat die FormU C U 0 e- t cos( t )(2)R2L(3)mit der Dämpfungskonstanten und der Frequenz 02 – 2(4),wobei ω0 die Frequenz des ungedämpften Schwingkreises ist. Für diesen gilt die ThomsonscheSchwingungsgleichung: 0 317-Elekrischer Schwingkreis1LCbzw.f0 12 Seite 2 von 10LC(5).03/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumDie Dämpfungskonstante δ kann bestimmt werden, indem man das Verhältnis zweier, nach derPeriode T aufeinanderfolgender Amplituden betrachtet. Dessen Logarithmus wird als „logarithmisches Dekrement’’ D bezeichnet U C (t) D δT ln U C (t T ) (6).Aus der Dämpfungskonstanten lässt sich über Gl. 3 der Reihenverlustwiderstand RV berechnen. Im Experiment kann die Dämpfung des Schwingkreises zusätzlich durch einen WiderstandRD erhöht werden.2.2Erzeugung freier SchwingungenUm in einem Schwingkreis freie Schwingungen anzuregen, muss ihm von außen Energie durcheinen kurzzeitigen Spannungsimpuls (z.B. Rechtecksignal mit nachgeschaltetem Kondensator)zugeführt werden (vgl. Bild 2).Bild 2: Eingangs- und Ausgangssignale am Schwingkreis mit freien Schwingungen.Dadurch wird der Kondensator C im Schwingkreis aufgeladen, und es kommt in der Folge zurperiodischen Umwandlung von elektrischer Feldenergie in magnetische Feldenergie und umgekehrt. Dieser Vorgang erfolgt solange, bis die Energie infolge der oben genannten Prozessewesentlich vermindert ist (gedämpfte Schwingung).2.3Erzeugung erzwungener Schwingungen, ResonanzEinem Schwingkreis können durch periodische Energiezufuhr auch Schwingungen aufgezwungen werden, deren Frequenz nicht unbedingt mit der Eigenfrequenz des Kreises übereinstimmen muss. Das tritt ein, wenn der Parallelschwingkreis mit einer Sinusspannung U vorgegebener Frequenz f erregt wird (vgl. Bild 3).Bild 3: Eingangs- und Ausgangssignale am Schwingkreis mit erzwungenen Schwingungen.317-Elekrischer SchwingkreisSeite 3 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumIm eingeschwungenen Zustand entsteht dann im Schwingkreis eine Wechselspannung mit eineranderen Amplitude als die der Generatorspannung und mit einer bestimmten Phasendifferenz.Für das Amplitudenverhältnis Schwingkreis- zu Generatorspannung sowie die Phasendifferenz φ zwischen UC und U erhält man mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung die folgenden Verläufe (Amplituden- bzw. Phasengang, Bild 4). Die zugehörigen Gleichungen finden Sieim Anhang.Bild 4: (a) Amplituden- und (b) Phasengang des Parallelschwingkreises.Die Frequenzen, bei denen die Schwingkreisspannung gegenüber dem Resonanzfall auf den1/ 2 -fachen Wert abgesunken ist, werden untere Grenzfrequenz fu und obere Grenzfrequenzfob genannt. Bei diesen Frequenzen beträgt die Phasendifferenz 45 . Als Bandbreite f0 bezeichnet man die Differenz Δf0 fob – fu und als Güte Q den QuotientQ 2.4f0Δf 0(7).FourierspektrumZwischen der Zeitfunktion einer freien Schwingung und der Resonanzkurve (Amplitudengang) bei der erzwungenen Schwingung besteht ein mathematischer Zusammenhang, welcherdurch eine Fouriertransformation (vgl. Versuch 322) gegeben ist (Zeitbereich Frequenzbereich).Der reinen, ungedämpften Sinusschwingung entspricht im Frequenzraum eine einzelne Frequenz f0. Ist die Schwingung gedämpft, so zeigt die Fourieranalyse ein Spektrum, welches einMaximum bei f0 hat und nach hohen und tiefen Frequenzen hin abfällt (Bild 5). Es ist uns bereitsaus dem vorhergehenden Abschnitt als Resonanzkurve bekannt. Die Bandbreite f0 wird in diesem Zusammenhang als spektrale Halbwertsbreite bezeichnet. Sie ist mit dem logarithmischenDekrement über317-Elekrischer SchwingkreisSeite 4 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumD π Δf 0f0(8)verbunden. Aus Gl.7 und Gl.8 folgt: Q proportional 1/D, d.h. je stärker die Dämpfung destokleiner die Güte und desto breiter die Resonanzkurve. Die zeitliche Dämpfung einer Schwingung ist also gleichbedeutend mit einer spektralen Verbreiterung der Resonanz- oder Eigenfrequenz.Bild 5: Fourierspektrum.2.5Gekoppelte SchwingkreiseWerden in der Mechanik (vgl. Versuch 120) zwei Pendel durch eine Feder verbunden, so beeinflussen sie sich gegenseitig in ihrem Schwingungsverhalten. Dasselbe passiert, wenn man zwei(nach Möglichkeit identische) Schwingkreise induktiv, d.h. über die Magnetfelder ihrer Spulenkoppelt. (Auch eine kapazitive oder galvanische Kopplung wäre denkbar.) Die durch die Kopplung entstehenden Veränderungen im Verhalten der Schwingkreise sind mit denen der gekoppelten Pendel vergleichbar.Bei freier Schwingung beobachtet man als Folge des wechselseitigen Energieaustausches zwischen beiden Kreisen eine Schwebung (Schwebungsfrequenz fs), welche der abklingendenSinuskurve (Grundfrequenz fG) überlagert ist (Bild 6).Bei der Anregung erzwungener Schwingungen zeigen sich zwei Maxima der Amplitude bei jeeiner Frequenz unterhalb (f1) sowie oberhalb (f2) der ursprünglichen Resonanzfrequenz(Bild.7). Die Stärke dieser sogenannten Resonanzfrequenzaufspaltung f hängt vom Kopplungsgrad k der beiden Spulen abf1 2 f01 kundΔf f 2 – f1(9)(k M./.L bei induktiver Kopplung, M ist die Gegeninduktivität der Spulenanordnung).Ist die Kopplung nur schwach, so gilt f k. f0, und die Aufspaltung erfolgt symmetrisch zu f0.Mittels Fouriertransformation kann auch hier aus dem Zeitverlauf (Bild 6) das Fourierspektrum (Bild 7) berechnet werden. Umgekehrt lässt sich das Entstehen einer Schwebung aus derÜberlagerung der beiden Schwingkreisfrequenzen (Fundamentalschwingungen) f1 und f2 desgekoppelten Systems erklären. Für die Schwebungsfrequenz fS sowie die Grundschwingungunter der Einhüllenden fG gilt317-Elekrischer SchwingkreisSeite 5 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenafS Physikalisches Grundpraktikum( f 2 – f1 )2undfG ( f1 f 2 )2(10).Bild 6: Freie Schwingungen gekoppelter Schwingkreise.Bild 7: Resonanzfrequenzaufspaltung.Die Resonanzfrequenzaufspaltung gekoppelter gleichartiger Schwingungssysteme ist eine fundamentale physikalische Erscheinung, die auch für mechanische und optische Oszillatoren gilt.Sie führt auch dazu, dass bei dicht gepackten atomaren Bausteinen (Gitteratome im Festkörper)sich die scharfen Energieniveaus (Eigenfrequenz) durch Vielfachaufspaltung zu Energiebändern verbreitern.317-Elekrischer SchwingkreisSeite 6 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches Grundpraktikum3. Versuchsdurchführung3.1MessplatzbeschreibungIm Versuch verwenden Sie ein digitales Oszilloskop. Hinweise zur Bedienung liegen am Versuchsplatz aus.Weiterhin finden Sie ein Steckbrett mit jeweils zwei Kondensatoren (10nF) und zwei einzelneSpulen á 20mH am Versuchsplatz vor. Die Spulen und die Kondensatoren sind mit (A), (B),(C) und (D) gekennzeichnet und dienen als Hinweis, welche Bauelemente für einen gemeinsamen Schwingkreis zu nutzen sind.Bild 8: Schaltung.Bauen Sie die Schaltung nach Bild 8 auf, und schließen Sie einen Sinus- bzw. Rechteckgenerator an. Die Schwingkreisspannung wird an den Y-Eingang „1“ des Oszilloskops gelegt.An den zweiten Eingang „2“ kann wahlweise (je nach Aufgabenstellung) das Generatorsignaloder z.B. das Signal vom zweiten Schwingkreis gelegt werden. Bei Anregung freier Schwingungen wird das Rechtecksignal an den X-Eingang gelegt und auf externe Triggerung geschaltet.3.2Freie Schwingungen (Zeitbereich)Legen Sie ein Rechtecksignal 100 Hz an den Eingang, und optimieren Sie die Oszi-Einstellungen, so dass das Bild einer gedämpften Schwingung formatfüllend sichtbar wird. Dokumentieren Sie dieses (Abspeichern auf USB-Stick, Hinweise dazu am Platz)! Messen Sie (Cursornutzen) die Periodendauer und berechnen Sie daraus die Resonanzfrequenz!3.3Erzwungene Schwingungen (Frequenzbereich)Legen Sie das Signal eines Sinusgenerators (zuerst analog) mit einer Frequenz im Bereich derResonanzfrequenz an den Eingang und parallel dazu an Kanal „2“ des Oszis. Schalten Sie aufDUAL-Betrieb (triggern auf Kanal 2) und beobachten Sie die Schwingkreisresonanz. NutzenSie nachfolgend den digitalen Frequenzgenerator, um die Resonanzfrequenz so genau wie möglich zu bestimmen. Vergleichen Sie diese mit dem theoretischen Wert. Nehmen Sie danach dieResonanzkurve auf ( je 5 Messpunkte in geeigneten Abständen auf beiden Seiten).317-Elekrischer SchwingkreisSeite 7 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumBerechnen Sie Bandbreite, Güte und Reihenverlustwiderstand (Gl.7 und Gl. 21). VergleichenSie die Güte mit der anderer Schwingungen (z.B. Quarz, mechanische Pendel, Laser, )Beobachten Sie die Phasenverschiebung sowohl im DUAL- als auch im XY-Betrieb (LissajousFigur). Gilt für den Resonanzfall Δφ 0? Wie verhalten sich Eingangs- und Schwingkreissignal für f / f0 (welches läuft voraus, welches hinterher)?3.4Gekoppelte SchwingkreiseErsetzen Sie Spule und Kondensator in der Schaltung durch die jeweiligen Bauelemente desSekundärkreises. Messen Sie die Resonanzfrequenz (mit Primärkreis vergleichen). Koppeln Siebeide Schwingkreise induktiv (mit maximalem Kopplungsgrad). Bestimmen Sie die neuen Resonanzfrequenzen (Eigenfrequenzen des gekoppelten Systems). Regen Sie danach freieSchwingungen im gekoppelten System an. Optimieren Sie die Einstellungen am Oszi, so dasseine ähnliche Abbildung wie Bild 6 zu sehen ist, und dokumentieren Sie diese. Ändern Sie dabei auch den Spulenabstand und damit den Kopplungsgrad.Messen Sie die Periodendauer der Grundschwingung fG sowie der Schwebung fS in beidenKreisen (Sind sie gleich?). Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Theorie (Gl. 10).In einem Zusatzexperiment kann man auch den Sekundärkreis (parallel zum Primärkreis) anden Generator anschließen. Messen Sie die Periodendauer der Schwingung möglichst sehr genau. Ändern Sie dann die Stromrichtung an der Sekundärspule und messen Sie die Periodendauer wieder. Es sollte sich eine deutliche Änderung ergeben, da jetzt die beiden Fundamentalfrequenzen direkt angeregt werden.3.5Logarithmisches Dekrement (Zusatzaufgabe)Erzeugen Sie gedämpfte Schwingungen mit zusätzlichen Dämpfungswiderständen: RD 0,100, 300 und 500 Ω. Dokumentieren Sie die jeweiligen Bilder. Bestimmen Sie in allen vier Fällen das logarithmische Dekrement (über mehrere Perioden mitteln) und daraus die Dämpfungskonstante δ (Gl. 6) sowie die Schwingungsfrequenz ω (Gl.4). Wie stark hat sich ω im Vergleichzu ω0 prozentual geändert?Nach Gl.23 (Anhang) sollte die Bandbreite Δω0 der Resonanzkurve etwa doppelt so groß seinwie die Dämpfungskonstante δ. Gilt dieser Zusammenhang für RD 0? Gilt er auch für stärkereDämpfung (dazu Resonanzkurven mit Zusatz-Dämpfungswiderstand aufnehmen)?317-Elekrischer SchwingkreisSeite 8 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumAnhangAnhang 1: SchwingungsdifferentialgleichungZur Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung wird Bild 9 betrachtet.Bild 9: L-C-Parallelschwingkreis mit Reihenverlustwiderstand RV.Nach der 1. Kirchhoffschen Regel sind im Bild 9 die Ströme durch alle drei Bauelemente gleichIL IR IC I dQdt(Q elektische Ladung)(11).Die 2. Kirchhoffsche Regel ergibt die BeziehungU L U R UC(12).An der Spule giltUL – LdId 2Q –L 2dtdt(13),dQdt(14).entsprechend am WiderstandU R RI Rund am KondensatorUC QC(15).Setzt man die Beziehungen (13) bis (15) in Gl.12 ein, so erhält man die Differentialgleichungd 2U CR dU C1 UC 02L dtLCdt(16).Anhang 2: Erzwungene Schwingungen, komplexe WechselstromrechnungFür das Spannungsverhältnis zwischen Schwingkreis- und Eingangsspannung gilt nach derSpannungsteilerregel317-Elekrischer SchwingkreisSeite 9 von 1003/21

Friedrich-Schiller-Universität JenaPhysikalisches GrundpraktikumUCZ U Z RK(Z Scheinwiderstand des Kreises)(17).Mit ZL i L (Scheinwiderstand der Spule) und ZC 1/(i C)) (Scheinwiderstand des Kondensators) ergibt sich für den Amplitudengang (Bild 4a)R 2 ( ωL )UC U R RK ω21– ω02 2(18)2 22 ω ( L C R RK ) und für den Phasengang (Bild 4b) ω2ω RK L – L 2 – C R 2 ω0 tan Δφ 2R R RK ω2 L2mit ω 2 π fund(19)R RD RV.Anhang 3: Bandbreite, Güte, Reihenverlustwiderstand, Impedanz, log. Dekrement, Dämpfungskonstante (kleine Formelsammlung)Bandbreite:B Δf0 fob – fu(20)Güte QQ f0 fbzw.Q Z0 L1 0 RVRVω0CR(21)LC(Impedanz, Kreiswiderstand,mitZ0 im Resonanzfall reell).Aus Gl. 8 folgtund daraus Q DoderQ 02 1 0 .2317-Elekrischer Schwingkreis(22)(23)Seite 10 von 1003/21

derstand) repräsentiert werden. Folgende Schwingungsgleichung lässt sich aufstellen (Gl. 16 im Anhang) C C C 1 0 R U U U L LC (1). Deren Lösung erfolgt über einen Exponentialansat